現在健康保険は親の社会保険の扶養に入っています。以前、失業保険を受給をはじめたら一度、扶養から外さなければならないと言われました。
健康保険には日割りの考え方がないと聞いたので、どのタイミングで国民健康保険に入ればいいでしょうか。
求職申し込みをしたのが5/27で
初回の失業認定日は6/24です。
ちなみに自己都合退職ではないためすぐに給付されるだろうと言われました。
いつ健康保険証を返却すればいいのか分からないため6月は使っていいのかどうか分かりません
お手数ですがご存知の方お願いいたします。

会社都合の場合、初回認定日から７日間の待機期間を経て、８日目から支給が開始されますので、受給日額が3612円以上であればその日から被扶養者の資格を喪失します。
６月でも受給開始日までは健康保険証は使用できます。
受給開始日以降に健康保険証を返却して下さい。雇用保険受給資格者証のコピーを添付して下さい。

その後、親御さんの会社から健康保険資格喪失証明書をいただいて資格喪失日から１４日以内に国民健康保険に加入手続きを行って下さい。

失業保険と再就職手当てについて
10/8 自己都合退職
11/19HW失業保険登録
12/1 初回認定日
2/5 内定通知(HW紹介会社)
2/23 認定日（初回支給日）
3/5 入職説明会
4/1 入社日

自己都合により退職をして初回の支給日前にﾊﾛｰﾜｰｸより紹介を受けた会社の内定通知をもらいました。
入社日が４月からで２ヶ月近く空いてしまうので金銭的不安があります。
この様なケースで失業保険または再就職手当ての手順がどのようになるのか教えてください。

初回の支給日は通常通りの金額が支給されますか？
２回目の支給日は就職活動の実績がないのでもらえないですか?
↑あくまで内定なので職業相談やセミナーなどを受けて実績を残せばもらえますか？
内定が決まっているが入社日は先なので失業保険でいうところの就職には該当しないと思うので･･･

失業保険での「内定」の取り扱いがどのように扱われるのかがわからないので困っています。

現段階では、内定状態で失業中ですよね。
いくら、４/１が入社日でもまだ就業しておらず、失業中であることには変わりはありません。いつ、もしかしたら内定が取り消されることだって、考えられますので、就職活動はしておかなければ、次の認定日に認定されなくなる可能性もあるし、失業手当を受け取る事も出来なくなるかもしれません。
とにかく、就業相談やセミナーなどで就職活動はまだ続けているようにしてお言うた方が良いですね。その方が確実に失業保険を手にする事が出来ると思いますよ。
また、失業期間残日数によっては再就職手当がもらえると、思いますよ。

失業保険の手続きについて
8月16日?8月31日までどうしてもハローワークに出所できません。
(この日に説明会と初回認定日が掛かると困ります)
安全のため、9月に入ってから手続きをしたほうが良いでしょうか?
ちなみに6月末で会社都合で退職し、離職表は入手済みです。
ご回答よろしくお願い致します。

給付日数が300日以上の給付対象者でなければ9月になってからの手続きでも何ら問題ないでしょう。

※認定日は特別な事情があれば変更可能です（傷病・親族の慶弔ごとなど）、説明会は事前に申し出れば理由に関係なく変更可能なハローワークが殆どです。

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