失業保険業務に詳しい方、失業保険について教ええてください。また、他の方も回答されていますが、３箇月の給付制限が過ぎたらすぐ受給というわけでもありません。給付をうけられる日数も長くなる場合があります。

失業保険の質問です
自己都合で退職するのと
リストラされて退職するのとでは
失業保険給付期間が違うのですか? また、退職後に直ぐに給付されますか?
具体的にご回答をお願いします。

自己都合で退職した場合は３か月の給付制限がつきますので、退職後ハローワークて手続きしたのち実際に給付を受けるまで４か月程度かかります。
会社都合の場合そういうものがありませんので、退職後待機期間の７日ご認定されれば約１か月後程度で給付が受けられます。
給付をうけられる日数も長くなる場合があります。ただしこちらは雇用保険の加入期間や年齢によって事なります（自己都合と変わらない場合もあります）

失業保険、傷病手当についてです。
4月２１日時点で２１日間の日数を残し（次回認定日５月１９日）4月24日から6月6日まで入院することになりました。
この場合受給期間延長申請は出来るのでしょうか。
ネット等で調べてみたのですが、いまいち傷病手当についてよく解らないので、よろしくお願いします。

１５日以上継続した場合、今回当てはまりますが、傷病手当支給を受ける事が出来ます。

申請期限は、傷病が治癒した後の、最初の認定日までです。

申請窓口は、ハローワーク（認定を受けてる場所）
傷病手当支給申請書（認定受けた時、配布された小冊子に添付されてます）
入院した病院に、証明書を記載発行をしてもらう。

傷病手当支給証明書と雇用保険受給資格証を窓口に提出されてください。

ただし、労働災害補償、休業補償等支給を受ける場合は、支給対象にならないかもしれません。

失業保険業務に詳しい方、失業保険について教ええてください。
今会社勤めをしています63才の会社員です（嘱託にて勤務）。
２年後定年退職になります。６５才で退職時に一時金をもらう場合と65才の少し前に辞めて失業保険をもらう場合とどちらが得策か教えてください。
ちなみに書物等にて調べましたが、６５才で退職する場合一時金５０日分（私の場合）になり、65才の少し前に辞めた場合120日の失業保険がもらえるようです。
65才の少し前に辞めた場合（自己都合として）は当然支給されるのは３箇月後からでしょうか？もしYESならその場合３箇月間は収入がないので迷っています。

雇用保険の受給を損得で考えてはいけませんよ。
そもそも、そういうものではありません。
確かに６４歳までに退職するのと６５歳以上で退職するのとでは受給できる日数に差がありますが、６４歳までに退職した場合の所定給付日数は、あくまで最大限受給できる日数であり、全部貰えるというお約束ではありません。あなたに仕事をする意思があり、実際に就職活動をする必要があります。まさか適当に活動していたとみせかければいいとお考えではありませんよね？
また、失業保険を受給中は年金の受給は完全にストップしますし、受給し終わってすぐ年金の受給が開始（再開）されるわけでもないようで、タイムラグが生じるようです（安定所の方もその辺は分からないはずなので、年金事務所等に確認をされておくほうがよいでしょう）

６５歳以上で退職された場合は、５０日分ですが一括で支給されます。もちろん就職する意思や就職活動は必要ですが１回の確認で済みます。
年金の受給にも影響しません。

それから、６５歳以上で退職した場合も、６４歳以前に退職した場合も、自己都合で退職すれば基本的には給付制限がかかります。
また、他の方も回答されていますが、３箇月の給付制限が過ぎたらすぐ受給というわけでもありません。
手続きしてから１回目の失業保険が振り込まれるまで（きちんとすべきことをして失業の認定まで受けた場合）、概ね４箇月程度かかります。年金のように１ヶ月分ずつの支給ではありませんから、その辺も頭の隅に置いて置かれたほうがよいでしょう。

会社が働いてもいいと言ってくれて、会社に籍を置いて仕事ができ、体力的にも問題なく仕事ができているならば、このまま退職せずにお仕事される方がよいと思いますよ。目先のお金のことだけ考えてはいけません。
（と、私より経験豊富な人生の先輩にこのようなお話するのは大変おこがましくも思っておりますが、ご容赦ください）

ご参考になさってください。